ПОЛНЫЙ РЕЗУЛЬТАТ И ПОЛНЫЙ АНАЛИЗ

Запросы «Re», «Im» и «Мнимая величина» перенаправляются сюда; см. также другие значения терминов Re
, Im
и Мнимая величина
.

В процессе научного исследования посредством целенаправленного анализа, работы с экспертами, источниками, применения различных технологий и методик формируется новое знание, строятся гипотезы, делаются выводы. Соответственно, эти результаты в конечном итоге выступают в виде определенной системы данных или понятий и теорий и пр.

Очевидно, что исследование не проводится лишь для удовлетворения любопытства ученого. Любое научное исследование требует определенных затрат, таких как время, усилия, инструменты, расходные материалы и пр. Если не публиковать и не показывать результаты работы, то можно сказать, что их не существует (кроме специализированных закрытых исследований, которые известны только определенному кругу лиц), а работа не проделана.

Если полученные результаты не известны и не доступны в какой-то мере другим ученым и исследователям, то они не представляют собой никакой ценности. Однако, здесь необходимо учитывать, что существуют различные режимы доступа к той или иной информации, поэтому следует понимать, что не вся информация и результаты исследований известны всему человечеству, так как о них могут знать только определенные специализированные группы лиц. Если об общедоступных результатах никто не знает, и они не опубликованы, то их нельзя использовать, а также опираться на них в последующих исследованиях. Например, в таком случае представители научного сообщества могут не знать, что уже существуют определенные исследования, и любой другой ученый будет попросту повторять тот же путь, выдвигая гипотезы и делая выводы, проверять данные. Это является крайне неэффективным помимо всех других сопутствующих недостатков. Проведенные по всему миру исследования, их доступные результаты, выводы, замечания, выведенные особенности и методология помогают оценить определенную работу другого ученого или исследователя. То есть, если в одном исследовании при использовании определенной методологии получены некие результаты, и они сходятся с результатами исследований других ученых, которые, возможно использовали иную методологию, другие подходы, инструменты, проводили исследования в разных странах, то это только подтверждает достоверность полученных выводов и результатов и является огромным преимуществом. Однако, если ведется однотипная работа с одним и тем же подходом, с одной и той же методологией, то это не является эффективным, так как те же ресурсы и усилия можно направить в другое русло.

Таким образом, любому ученому или исследователю крайне важно представить научному сообществу свои данные, полученные в результате исследования, объективно, систематизировано и лаконично с использованием различных инструментов, чтобы это соответствовало современным требованиям и научным стандартам.

Определим, что может являться результатами исследования, поскольку каждая работа должна характеризоваться своим завершением в том или ином его проявлении.

Рассмотрим следующие возможные результаты исследования:

1. Изданная монография или другая научная публикация.

Монография может быть полезной не только специалистам и профессионалам из академического мира науки, но также для совершенно обыкновенных людей, которые интересуются той или иной проблематикой в силу своей деятельности или хобби. Также монография может использоваться для написания курсовой или дипломной работы. На основе этого источника могут проводиться дальнейшие исследования, могут быть написаны диссертационные работы и т.д. Более того, издание книг по результатам исследования, в том числе и научно-методических, повышают рейтинг и престиж самого ученого или исследовательской группы.

2. Серия лекций на тему исследования.

Такой блок информации может содержать комплексные данные о проведении самого исследования, о полученных результатах и прочее. Книга или серия лекций может быть сформирована для раскрытия только одного вопроса. Например, чтобы не знакомиться с содержанием всей книги по отдельной интересующей тематике может быть составлен курс лекций. Это значительно сократит время изучения необходимого вопроса, а также поможет ученым и специалистам, изучающим эту проблематику, глубинно разобраться в предмете исследования. Также возможно провести дискуссию с оппонентами и узнать контр-мнение, что может дополнить результат проводимого исследования.

3. Серия научных статей.

Таким способом результаты исследований будут представлены не только для ученых и академиков, но и для молодых специалистов, начинающих научных деятелей, сотрудников университетов и других высших учебных заведений. Такой способ позволит донести идеи и результаты исследования до большего круга лиц, а также повысит рейтинг и авторитет ученого.

4. Субстанция для практического применения.

Это могут быть консультации по определенной теме, предоставление рекомендаций, конструирование технологий и т.д. Знания, полученные в ходе научной работы, должны носить прикладной характер, чтобы с помощью этого можно было добиваться поставленных целей, в том числе и другим людям.

5. Научно-методическая книга об особенностях исследования явления.

Она может быть написана в случае, если исследуется, например, какая-то субкультура. Данный вид книги как один из важных элементов его научной деятельности полезен не только для самого ученого, но и для студентов ВУЗов, аспирантов, а также людей, интересующихся методами научного исследования. В ходе исторического развития наука превратилась в важнейший фактор, оказывающий значительное влияние на все сферы общества.

Таким образом, полный объем результатов исследования, который здесь рассмотрен как пример, предоставляет данные о методических и научных работах, дает общую характеристику современных научных методов исследования, что может являться хорошим фундаментом в деятельности других ученых.

Алгоритм обнародования результатов исследования может выглядеть следующим образом (рис. 1).

Как видно из схемы, последним шагом является программа практического применения полученных знаний в жизни, бизнесе и других сферах. Ка вариант, это могут быть тренинговые программы, системы консультирования заинтересованных лиц и т.д.

Безусловно, это только основные аспекты того, в какой форме ученый мог бы представить свои результаты исследования. Фактически этот подход можно считать основным, но каждый исследователь может самостоятельно формировать для себя свой алгоритм обнародования результатов проведенных исследований в зависимости от выбранного подхода к научному исследованию, применения специализированных  методик, технологий, от сферы деятельности, направленности и пр. Также следует учитывать то, что в любой упомянутой форме есть определенные требования, которые следует придерживаться, что влечет за собой дополнительную определенную работу для ученого.

Противоположным

для комплексного числа



является число



Например, для числа



противоположным будет число

Четыре арифметические операции для комплексных чисел (определённые ниже) имеют те же свойства, что и аналогичные операции с вещественными числами
.

Сложение и вычитание

Правила для степеней мнимой единицы:

и т. д.

То есть для любого целого числа



верна формула



, где выражение



означает получение остатка от деления




на 4.

После определения операций с комплексными числами выражение



можно воспринимать не как формальную запись, а как выражение, составленное по приведённым выше правилам сложения и умножения. Чтобы это показать, раскроем все входящие в него переменные, следуя вышеприведённым соглашениям
и определению сложения и умножения:

Комплексное число



называется сопряжённым
к комплексному числу



(подробнее ниже
).

Как и для вещественных чисел, деление можно заменить умножением делимого на число, обратное к делителю
.

Для комплексных чисел определены также извлечение корня
, возведение в степень
и логарифмирование
.

Основные отличия комплексных чисел от вещественных

Число



не является единственным числом, квадрат которого равен



Число



также обладает этим свойством.

Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи:

Теоремы единственности и аналитическое продолжение

Нулём
функции



называется точка



, в которой функция обращается в ноль:



.

Теорема о нулях аналитической функции
. Если нули функции



, аналитической в области



, имеют предельную точку
внутри



, то функция



всюду в



равна нулю.

Следствие:
если функция



аналитична в области



и не равна тождественно нулю в ней, то в любой ограниченной замкнутой
подобласти



у неё может быть лишь конечное
число нулей.

Теорема единственности аналитической функции.
Пусть



 — бесконечная сходящаяся последовательность
различных точек области



Если две аналитические функции



совпадают во всех точках этой последовательности, то они тождественно равны в

В частности, если две аналитические функции совпадают на некоторой кусочно-гладкой кривой в



, то они совпадают всюду в



. Это значит, что значения аналитической функции даже на небольшом участке области полностью определяют поведение функции во всей области её определения. Задав аналитическую функцию на кривой (например, на вещественной оси), мы однозначно определяем её расширение (если оно возможно) на более широкую область, которое называется аналитическим продолжением
исходной функции.

Все стандартные функции анализа — многочлен
, дробно-линейная функция
, степенная функция
, экспонента
, тригонометрические функции
, обратные тригонометрические функции
, логарифм
 — допускают аналитическое продолжение на комплексную плоскость. При этом для их аналитических продолжений будут иметь место те же алгебраические, дифференциальные
и другие тождества, что и для вещественного оригинала, например:

• Аналитическая функция
• Вычет (комплексный анализ)
• Голоморфная функция
• Кватернионный анализ
• Комплексные числа
• Многомерный комплексный анализ
• Моногенная функция
• Проективно расширенная числовая прямая
  — одномерный аналог комплексной плоскости, дополненной беззнаковой
  бесконечно удалённой точкой
  .

Расширение поля
вещественных чисел
до комплексных, как и любое другое расширение алгебраической структуры, ставит множество вопросов, основные из которых — это вопросы о том, как определить операции над новым типом чисел, какие свойства будут иметь новые операции и (главный вопрос) допустимо ли такое расширение, не приведёт ли оно к неустранимым противоречиям.

Для анализа подобных вопросов в теории комплексных чисел надо сформировать набор аксиом.

Аксиоматика комплексных чисел

С1
: Для всяких комплексных чисел



определена их сумма

С2
: Сложение коммутативно
:



Далее в некоторых аксиомах для краткости будем опускать оговорку «для всяких



».

С3
: Сложение ассоциативно
:

С4
: Существует элемент 0 (ноль) такой, что

С5
: Для всякого комплексного числа



существует противоположный ему
элемент



такой, что

С6
: Для всяких комплексных чисел



определено их произведение

С7
: Умножение коммутативно
:

С8
: Умножение ассоциативно
:

С9
: Умножение связано со сложением распределительным
(дистрибутивным) законом:

С10
: Существует элемент 1 (единица), не равный нулю и такой, что

С11
: Для всякого ненулевого числа



существует обратное ему
число



такое, что

С12
: Множество комплексных чисел



содержит подполе, изоморфное
полю вещественных чисел




Для простоты далее это подполе обозначается той же буквой

С13
: Существует элемент



( мнимая единица
) такой, что

С14
( аксиома минимальности
): Пусть



 — подмножество



которое: содержит



и мнимую единицу и замкнуто относительно сложения и умножения. Тогда



совпадает со всем

Непротиворечивость и модели

1. пары
   
   
   
   и
   
   
   
   считаются равными, если
   
   
   
   и
   
   
   
2. сложение
   : сумма пар
   
   
   
   и
   
   
   
   определяется как пара
   
   
   
3. умножение
   : произведение пар
   
   
   
   и
   
   
   
   определяется как пара
   
   
   

Пояснение: сложное, на первый взгляд, определение умножения легко выводится из соотношения

Несложно убедиться, что описанная структура пар образует поле
и удовлетворяет всему приведённому перечню аксиом комплексных чисел. Вещественные числа моделируются парами



, образующими подполе



, причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Пары



и



соответствуют нулю и единице поля. Такой способ является частным случаем процедуры Кэли — Диксона
.

Мнимая единица
 — это пара



Квадрат её равен



то есть 



Любое комплексное число можно записать в виде

Комплексные числа можно также определить как подкольцо
кольца вещественных матриц
 2×2 вида

мнимой единице —

.

Модель факторкольца многочленов

Расширенное комплексное поле как фактор-поле рациональных дробей полиномов с вещественными коэффициентами

Нетривиальная факторизация
поля в поле невозможна, но поля, расширенные бесконечностью, могут нетривиально факторизоваться. Более того, возможны нетривиальные факторизации обычных полей в расширенные. В частности, обычное или расширенное поле рациональных дробей
полиномов одной переменной с вещественными коэффициентами факторизуется в расширенное поле комплексных чисел
( сферу Римана
) путём отождествления полинома



с нулём. Каждая дробь при этом заменяется на частное остатков от деления числителя и знаменателя своего несократимого представления на



. В силу несократимости, при этом не может образоваться неопределённость



, в остальных случаях знаменатель, равный нулю, означает бесконечность, случай знаменателя, не равного нулю, рассматриваются в стандартной технике (домножением на сопряжённый знаменателю). Другим способом получения того же результата является параметризация полиномов числителя и знаменателя несократимого представления дроби мнимой единицей.

Параметризуя рациональные дроби полиномов различными числами, можно получать различные факторизации: при параметризации вещественным числом — расширенное поле вещественных, комплексным (не вещественным) — комплексных чисел. Число, используемое для параметризации, есть корень простого (над вещественным полем) полинома, отождествляемого с нулём, т. е. по модулю которого берутся числители и знаменатели (в случае вещественного числа — первой степени, комплексного — квадратный с отрицательным дискриминантом и, соответственно, двумя сопряжёнными комплексными корнями).

Фундаментальные работы в комплексном анализе связаны с именами Эйлера
, Римана
, Коши
, Вейерштрасса
и многих других известных математиков. Теория конформных отображений
стала бурно развиваться благодаря имеющимся применениям в инженерном деле, методы и результаты комплексного анализа применяются в аналитической теории чисел
. Новый всплеск интереса к комплексному анализу связан с комплексной динамикой
и теорией фракталов
.

Вариации и обобщения

Другие типы расширений комплексных чисел ( гиперкомплексные числа
):

В 1893 году Чарлз Штейнмец
предложил использовать комплексные числа для расчётов электрических цепей
переменного тока
(см. ниже
).

Некоторые практические применения

Те особенности комплексных чисел и функций, которые отличают их от вещественных, оказались полезными, а часто и незаменимыми в математике, в естественных науках и технике.

Приложения комплексных чисел сами по себе занимают видное место в математике — в частности, понятия алгебраических чисел
, нахождение корней многочленов
, теория Галуа
, комплексный анализ
и т. д.

Нередко проблемы вещественного анализа проясняются при их комплексном обобщении. Классический пример — разложение в ряд Тейлора

О представлении комплексных чисел в информатике
и компьютерной поддержке комплексной арифметики изложено в статье Комплексный тип данных
.

Основой квантовой механики является понятие комплексной волновой функции
. Для описания динамики квантовой системы используются дифференциальные уравнения с комплексными коэффициентами типа уравнения Шрёдингера
. Решения этих уравнений заданы в комплексном гильбертовом пространстве
. Операторы, соответствующие наблюдаемым
величинам, эрмитовы
. Коммутатор
операторов координаты



и импульса




представляет собой мнимое число:

Приложения в вещественном анализе

С помощью теории вычетов
, являющейся частью ТФКП, вычисляются многие сложные интегралы по замкнутым контурам.

Средствами комплексного анализа объясняются некоторые моменты, не поддающиеся простой интерпретации в терминах вещественного анализа. Приведём классический пример: функция

непрерывна и бесконечно дифференцируема на всей вещественной прямой. Рассмотрим её ряд Тейлора

Этот ряд сходится только в интервале



, хотя точки



не являются какими-то особенными для



.

Положение проясняется при переходе к функции комплексного переменного



, у которой обнаруживаются две особые точки:

. Соответственно, эту функцию можно разложить в ряд Тейлора только в круге

.

Вещественная и мнимая часть дифференцируемой функции — гармонические функции

, связанные условиями Коши — Римана
.

Всякая дифференцируемая в некоторой окрестности точки



комплексная функция дифференцируема неограниченное число раз в этой точке (то есть
аналитична

, или голоморфна

).

Преобразования комплексной плоскости

Всякая комплексная функция может рассматриваться как преобразование комплексной плоскости (или как преобразование одной комплексной плоскости в другую). Примеры:

Среди других практически полезных функций преобразования:

инверсия

функция Жуковского
. Инверсия, как и дробно-линейное преобразование, переводит обобщённые окружности в обобщённые окружности.

Аналитическая геометрия на комплексной плоскости

Три (различные) точки

лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется условие:

является вещественным числом.

Четыре (различные) точки

лежат на одной обобщённой окружности (окружности или прямой) тогда и только тогда, когда выполняется условие:

отношение

является вещественным числом.

где


 — комплексные числа,



 — произвольный вещественный параметр.

Интегрирование комплексных функций

Понятие первообразной
комплексной функции (неопределённого интеграла) вводится так же, как в вещественном случае. Однако аналог определённого интеграла
в интервале от



до



на комплексной плоскости, вообще говоря, не существует, так как путь от начальной точки до конечной неоднозначен. Поэтому основным видом комплексного интеграла является криволинейный интеграл
, зависящий от конкретного пути. Ниже будут указаны условия, при выполнении которых интеграл не зависит от пути, и тогда интеграл «от точки до точки» может быть определён корректно.

и рассмотрим интегральную сумму:

Предел этой суммы при неограниченном возрастании



называется (комплексным) интегралом по (направленной) кривой




от данной функции



; он обозначается:

Для любой функции



, непрерывной вдоль



, этот интеграл существует и может быть вычислен через обычный вещественный интеграл по параметру:

Здесь



 — компоненты



. Из этого представления можно заметить, что свойства комплексного интеграла аналогичны свойствам
вещественного криволинейного интеграла второго рода.

Особый практический интерес представляют интегралы по (замкнутому) контуру
, то есть по кусочно-гладкой кривой без точек самопересечения
, у которой начальная точка совпадает с конечной. Контур можно обходить в двух направлениях; положительным считается направление, при котором ограниченная контуром область располагается слева по ходу движения.

Если кривая



образует замкнутый контур, употребляется особое обозначение интеграла:

Иногда стрелочкой на кружке указывают направление: по часовой стрелке или против.

Имеет место важная интегральная теорема Коши
: для любой функции



, аналитической
в односвязной области




и для любого замкнутого контура



интеграл по нему равен нулю:

Следствие: пусть функция

аналитична в односвязной области

а точки



из области

соединены некоторой кривой

. Тогда интеграл

зависит только от точек

, но не от выбора соединяющей их кривой

, так что можно обозначить его

Если выполнены условия теоремы Коши, то можно ввести понятие

неопределённого интеграла

для

. Для этого зафиксируем внутри области некоторую точку

и рассмотрим интеграл:

Другие мощные инструменты для исследования комплексных и вещественных интегралов:

интегральная формула Коши
и её следствия: принцип максимума модуля
, теоремы о среднем
;

основная теорема о вычетах
.

Если этот предел существует, функция называется

дифференцируемой
или голоморфной

. При этом

где



— « o
» малое

.

или, если в краткой форме,

Отсюда следует, что дифференцируемости компонент



и



недостаточно для дифференцируемости самой функции.

• Всякая дифференцируемая в некоторой окрестности точки
  
  
  
  комплексная функция дифференцируема неограниченное число раз и аналитична
  , то есть её ряд Тэйлора
  сходится к данной функции во всех точках этой окрестности (в литературе наряду с термином аналитическая функция
  используются также его синонимы « голоморфная функция
  », « регулярная функция
  »).
• ( Теорема Лиувилля
  ): Если функция дифференцируема на всей комплексной плоскости и не является константой, то её модуль не может быть ограничен.
• Обе компоненты дифференцируемой комплексной функции являются гармоническими функциями
  , то есть удовлетворяют уравнению Лапласа
  :

• Любая гармоническая функция может быть как вещественной, так и мнимой компонентой дифференцируемой функции. При этом другая компонента определяется однозначно (из условий Коши — Римана), с точностью до константы-слагаемого.

Таким образом, любая дифференцируемая комплексная функция — это функция вида



, где



 — взаимосвязанные гармонические функции двух аргументов.

Пусть функции



и



дифференцируемы в области



Тогда



и



также дифференцируемы в этой области. Если



в области



не обращается в ноль, то



будет дифференцируема в



Композиция функций




дифференцируема всюду, где она определена. Если производная функции



в области



не обращается в ноль, то существует обратная к ней функция



и она будет дифференцируема.

Производная для суммы, разности, произведения, частного от деления, композиции функций и обратной функции вычисляется по тем же формулам, что и в вещественном анализе.

Геометрический смысл производной

Каждая комплексная функция



определяет некоторое отображение комплексной плоскости с координатами



на другую комплексную плоскость с координатами



. При этом выражение

Если коэффициент масштабирования


, то в окрестности точки

расстояния между точками увеличиваются, и коэффициент масштабирования называют

коэффициентом растяжения

. Если коэффициент масштабирования

, то в окрестности точки

расстояния между точками уменьшаются, и коэффициент масштабирования называют коэффициентом сжатия
. Пример для функции



: в точке



производная равна 4, поэтому все длины увеличиваются в четыре раза.

Место в общей алгебре, топологии и теории множеств

Превратить поле комплексных чисел в упорядоченное поле
невозможно, потому что в упорядоченном поле квадрат любого элемента неотрицателен, и мнимая единица в нём не может существовать.

Из свойств модуля следует, что комплексные числа образуют структуру двумерного нормированного пространства
над полем

Формула Муавра и извлечение корней

где



 — модуль, а



 — аргумент комплексного числа. В современной символике она опубликована Эйлером
в 1722 году. Приведённая формула справедлива при любом целом



, не обязательно положительном.

где k
принимает все целые значения от



до



. Это значит, что корни



-й степени из ненулевого комплексного числа существуют для любого натурального



и их количество равно



. На комплексной плоскости, как видно из формулы, все эти корни являются вершинами правильного , вписанного в окружность радиуса



с центром в начале координат (см. рисунок).

Главное значение корня

Здесь



 — функция «знак»
, а радикалы обозначают обычный арифметический корень
из неотрицательного вещественного числа. Формула легко проверяется возведением



в квадрат. Число



является главным значением квадратного корня.

Пример

: для квадратного корня из



формулы дают два значения:

Пример

: умножение на



поворачивает радиус-вектор числа на прямой угол в положительном направлении, а после умножения на



радиус-вектор поворачивается на прямой угол в отрицательном направлении.

Если



является вещественным числом
, то



совпадает с абсолютной величиной этого числа в вещественном понимании термина.

1)



, причём



только при

2)



( неравенство треугольника
);

3)

4)

5) для пары комплексных чисел



и



модуль их разности



равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости;

6) модуль числа



связан с вещественной и мнимой частями этого числа соотношениями:

1) аргумент обратного числа отличается знаком от аргумента исходного:

2) аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей:

3) аргумент частного от деления равен разности аргументов делимого и делителя:

Двойное ударение указано согласно следующим источникам:

Большая советская энциклопедия
, 3-е изд. (1973), том 12, с. 588, статья Ко́мпле́ксные числа

.

Советский энциклопедический словарь (1982), с. 613, статья

Ко́мпле́ксное число

.

Последнее издание «Словаря трудностей русского языка» (Розенталь Д. Э., Теленкова М. А., Айрис-пресс, 2005, с. 273) указывает оба варианта: «ко́мплексные (компле́ксные) числа».

В
Большой российской энциклопедии

(том 14, 2010 год) предлагаются одновременно ударения:

(с. 691), но Ко́мплексный анализ
(с. 695).

Орфографический словарь русского языка (6-е издание, 2010), Грамматический словарь русского языка, Русский орфографический словарь

под ред. В. В. Лопатина и ряд других словарей указывают варианты: « ко́мплексный
» и «
компле́ксный

(матем.)».

Смирнов В. И., 2010

, с. 7—15.

Свешников А. Г., Тихонов А. Н.

Теория функций комплексной переменной. Указ. соч., с. 20—21.

↑
1

2

3

Смирнов В. И., 2010
, с. 15—22.

Смирнов В. И., 2010
, с. 22—23.

Смирнов В. И., 2010
, с. 24—25.

Лаврентьев М. А., Шабат Б. В.
Проблемы гидродинамики и их математические модели
. — М.
: Наука, 1973.
  (недоступная ссылка)

Фихтенгольц, Григорий Михайлович
.
Курс дифференциального и интегрального исчисления, глава 9, параграф 2.

Дата обращения: 8 июня 2021.
Архивировано
19 июля 2020 года.

Математика, её содержание, методы и значение (в трёх томах). — АН СССР, 1956. — Т. 2. — С. 204—205. — 397 с.

Смирнов В. И., 2010
, с. 33.

Бесконечно удалённая точка

-окрестностью бесконечно удалённой точки считается множество точек



, модуль которых больше, чем



, то есть внешняя часть



-окрестностей начала координат.

Каждая комплексная функция



может рассматриваться как пара вещественных функций от двух переменных:



определяющих её вещественную и мнимую часть соответственно. Функции



называются компонентами
комплексной функции



.

Далее всюду, где говорится об ограниченности
комплексной функции, имеется в виду ограниченность её модуля
(из чего следует ограниченность в обычном смысле обеих компонент).

Все основные теоремы о пределе и непрерывности вещественных функций имеют место и в комплексном случае, если это расширение не связано со сравнением комплексных величин на больше-меньше
. Например, отсутствует прямой аналог теоремы о промежуточных значениях
непрерывной функции.

-окрестность числа



определяется как множество точек



, удалённых от



менее чем на



:

<img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4d046e0f0c668adf238ac27f4ebca593606cbb4" aria-hidden="true" alt="{\displaystyle |z-z_{0}|

Комментарии

2. При условии непротиворечивости системы вещественных чисел.
3. То есть отличается от
   
   
   
   (поля рациональных функций
   для набора переменных
   
   
   
   мощности
   континуум) на алгебраическое расширение
   
4. Поскольку отображение в алгебраически замкнутое поле всегда может быть продлено на алгебраическое расширение, для установления изоморфизма между алгебраическими замкнутыми полями достаточно установить изоморфизм между их простыми подполями
   и биекцию между базисами трансцендентности.

Использованная литература

Разложение в ряд

Определение суммы числового ряда
и признаки сходимости
в комплексном анализе практически такие же, как в вещественном, с заменой абсолютной величины
на комплексный модуль; исключение составляют признаки сходимости, в которых происходит сравнение на больше-меньше самих элементов ряда, а не их модулей.

Всякая дифференцируемая в точке



функция разлагается в окрестности этой точки в степенной ряд Тейлора
:

Коэффициенты ряда вычисляются по обычным формулам. Этот ряд сходится к функции



в некотором круге
радиуса



с центром в точке



, который служит аналогом интервала сходимости вещественного ряда. В этом круге ряд абсолютно сходится, а вне его расходится. При этом возможны 3 случая.

1. Ряд сходится в круге конечного и ненулевого радиуса.
2. Ряд сходится во всей комплексной плоскости, то есть
   
   
   
   . Такие функции называются целыми
   
   .
3. Ряд сходится только в точке
   
   
   
   . Пример:
   
   
   
   . Такие точки
   
   
   
   называются особыми
   для функции
   
   
   
   Неособые точки называются правильными
   . Внутренность круга сходимости состоит из правильных точек.

Граница круга сходимости содержит хотя бы одну особую точку. Отсюда следует, что радиус круга сходимости в точке



равен расстоянию от



до ближайшей к ней особой точки.

Теорема Абеля
: если



 — радиус круга сходимости степенного ряда, то в любом круге с тем же центром, но меньшего радиуса, ряд сходится равномерно
.

Представляет большой практический интерес исследование поведения функции вблизи изолированной особой точки
, то есть точки, в окрестности которой функция аналитична, но в самой точке либо не аналитична, либо не определена. Степенной ряд здесь бесполезен, поэтому вводится более общий ряд Лорана
:

Если область сходимости ряда Лорана не пуста, она представляет собой круговое кольцо
: <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4af0fcd0708958d6f532abf05b08cb70b9c9f57" aria-hidden="true" alt="{\displaystyle r<|z-z_{0}|



.

Основная теорема
: если функция



аналитична в круговом кольце, то она может быть представлена в этом кольце сходящимся рядом Лорана, причём однозначно.

Как и для степенного ряда, границы кольца сходимости определяются распределением особых точек функции. По виду ряда Лорана можно сделать некоторые выводы о поведении функции вблизи точки



.

1. Устранимая особая точка
   : если ряд Лорана не содержит элементов с отрицательными степенями
   
   
   
   . Тогда это просто степенной ряд, определяющий функцию в некотором круге, окружающем
   
   
   
   . Сумма ряда в этом круге конечна и может отличаться от
   
   
   
   только в точке
   
   
   
   , так что достаточно переопределить
   
   
   
   , чтобы функция стала аналитичной во всём круге. Имеет место следующий признак: если функция вблизи
   
   
   
   аналитична и ограничена, то
   
   
   
    — устранимая особая точка.
2. Полюс
   : если ряд Лорана содержит конечное число элементов с отрицательными степенями
   
   
   
   . В этом случае функция в точке
   
   
   
   бесконечна (по модулю).
3. Существенно особая точка
   : если ряд Лорана содержит бесконечное число элементов с отрицательными степенями
   
   
   
   . В этом случае функция в точке
   
   
   
   не может быть корректно определена так, чтобы быть непрерывной.

Формы представления комплексного числа

Выше использовалась запись комплексного числа



в виде



такая запись называется алгебраической формой
комплексного числа. Две другие основные формы записи связаны с представлением комплексного числа в полярной системе координат
.

Как уже сказано выше, для нуля аргумент



не определён; для ненулевого числа



определяется с точностью до целого кратного

где



 — число Эйлера
,



,



 — косинус
и синус
,



 — комплексная экспонента
, продолжающая вещественную на случай общего комплексного показателя степени.

Модуль выражения



где число



вещественно, равен 1.

— при существенно комплексном аргументе



эти равенства могут служить определением (комплексного) косинуса
и синуса
.

(поскольку



находится в III координатной четверти).