КОНТРПОЗИТИВНОЕ ВЫСКАЗЫВАНИЕ

Закон контрапозиции является одним из основных принципов логики и играет важную роль в рассуждениях и выводах. Этот закон позволяет нам сделать выводы о верности отрицания утверждения на основании его контрапозитива, заключения с конструкцией «если не В, то не А». С помощью контрапозиции мы можем преобразовывать предложения и изучать их логические связи.

Основной принцип закона контрапозиции заключается в том, что если предложение «если А, то В» является истинным, то и предложение «если не В, то не А» тоже будет истинным. Это означает, что отрицание одного из утверждений равносильно отрицанию другого утверждения.

Примером использования закона контрапозиции может служить следующая ситуация: «Если человек не работает, то он не зарабатывает деньги». В данном примере контрапозиция этого утверждения будет звучать следующим образом: «Если человек зарабатывает деньги, то он работает». Если первое утверждение является истинным, то по закону контрапозиции следует, что и второе утверждение также будет истинным. Это позволяет нам делать выводы о замкнутых логических цепочках и применять закон контрапозиции в различных сферах нашей жизни.

Закон контрапозиции в логике

Закон контрапозиции — это одно из основных правил логики, которое устанавливает эквивалентность между двумя пропозициями. Согласно этому закону, контрапозиция исходной пропозиции с частицами «не» и «или» будет иметь ту же истинность, что исходная пропозиция.

Для лучшего понимания закона контрапозиции рассмотрим конкретный пример. Допустим, у нас есть утверждение «Если январь, то очень холодно». В этом случае контрапозицией этого утверждения будет «Если не очень холодно, то не январь». Это пример применения закона контрапозиции.

Закон контрапозиции может быть применен в различных логических выводах и рассуждениях. Он позволяет переформулировать исходные пропозиции, сохраняя их истинность. Также закон контрапозиции является основой для других законов логики, таких как закон подстановки и закон простого вывода.

Использование закона контрапозиции позволяет сделать логические выводы более точными и четкими. Он помогает выявлять противоречия и ошибки в рассуждениях. При решении задач и анализе аргументов закон контрапозиции может стать полезным инструментом для достижения правильных и обоснованных выводов.

Основные принципы закона контрапозиции

Закон контрапозиции — это основной принцип, лежащий в основе логической операции импликации или условного утверждения. Он гласит, что если утверждение «если А, то В» истинно, то утверждение «если не В, то не А» также будет истинно.

В основе закона контрапозиции лежит логическая эквивалентность двух высказываний: «если А, то В» и «если не В, то не А». Это означает, что оба этих высказывания будут истинными или ложными одновременно.

Применение закона контрапозиции позволяет переформулировать условное утверждение таким образом, чтобы оно оставалось истинным, но изменялась его форма. Например, если утверждение «если сегодня идет дождь, то улицы мокрые» истинно, то утверждение «если улицы не мокрые, то сегодня не идет дождь» также будет истинно.

Закон контрапозиции широко применяется в математике и логике при доказательстве теорем и рассуждениях на основе условных утверждений. Он помогает выяснить, какие другие утверждения могут быть следствием из данного условного утверждения.

Вместе с другими основными логическими законами, такими как закон исключенного третьего и закон противоречия, закон контрапозиции позволяет строить более сложные логические рассуждения и доказательства.

Примеры применения закона контрапозиции

Закон контрапозиции – это основной логический принцип, который заключает в себе возможность получить вспомогательное утверждение из исходного с помощью инвертирования его условий и следствий. Этот закон справедлив для всех логических связок и позволяет установить эквивалентность двух логических формул.

В основе закона контрапозиции лежит утверждение о том, что отрицание следствия равносильно отрицанию условия, и наоборот. Если известно, что при выполнении условия следует следствие, то можно утверждать также, что при отрицании следствия отрицается условие.

Применение закона контрапозиции особенно полезно в рассуждениях и доказательствах. Оно позволяет переформулировать исходное утверждение таким образом, чтобы оно стало более удобным для рассмотрения. Основные шаги доказательства с применением закона контрапозиции включают инвертирование условия и следствия, применение допущений и логических правил.

Примером применения закона контрапозиции может служить рассмотрение утверждения «Если сегодня идет дождь, то улицы мокрые». Применяя закон контрапозиции, мы можем инвертировать условие и следствие, получив новое утверждение «Если улицы не мокрые, то сегодня не идет дождь». Это позволяет нам рассмотреть обоюдоотношение между условием и следствием и логически доказать их связь.

Закон контрапозиции в логике является одним из основных принципов, применяемых для анализа логических высказываний. Этот закон утверждает, что если какое-либо высказывание имеет ложное значение, то его логическая контрапозиция, то есть выражение, полученное путем инвертирования и обратного переставления элементов, будет иметь истинное значение.

Примером применения закона контрапозиции может служить следующее высказывание: «Если умеешь плавать, то не утонешь». Согласно закону контрапозиции, высказывание обратной природы будет иметь истинное значение: «Если утонешь, то не умеешь плавать». Таким образом, если человек утонет, мы можем сделать вывод, что он не умеет плавать.

Другим примером применения закона контрапозиции является высказывание: «Если выстрелит патрон, то заряд в нем будет определен». В данном случае, согласно закону контрапозиции, возможно сделать вывод, что если заряд в патроне не определен, то он не выстрелит. Таким образом, мы можем утверждать, что если патрон не выстрелил, то заряд в нем не был определен.

Таким образом, закон контрапозиции в логике позволяет нам анализировать логические высказывания, основываясь на их ложных и истинных значениях. Применение этого закона позволяет делать выводы и выявлять взаимосвязи между высказываниями. Закон контрапозиции является одним из инструментов логического мышления, который применяется в различных сферах жизни, включая науку, математику, право и философию.

Теоретические основы закона контрапозиции

Закон контрапозиции — один из основных принципов в формальной логике, который позволяет установить эквивалентность двух логических выражений. Закон контрапозиции основан на идее, что отрицание отрицания высказывания является эквивалентным оригинальному высказыванию.

Используя закон контрапозиции, мы можем обосновать причинно-следственные связи между двумя логическими выражениями. Например, если мы знаем, что «если сейчас идет дождь, то улицы мокрые», то с помощью закона контрапозиции мы можем сказать, что «если улицы не мокрые, то не идет дождь». Таким образом, закон контрапозиции позволяет осуществлять логические рассуждения на основе имеющихся фактов и установлять новые связи между высказываниями.

Закон контрапозиции широко используется в математике, философии и информатике для формализации логических операций и установления логических связей. Он является важным инструментом в логическом мышлении и позволяет анализировать и выводить новую информацию на основе имеющихся данных.

Определение контрапозиции

Формально это правило может быть записано следующим образом: «если A, то B» контрапозируется в «если не B, то не A». То есть, если мы знаем, что утверждение A приводит к утверждению B, то мы также можем сказать, что отрицание утверждения B приведет к отрицанию утверждения A.

Применение контрапозиции позволяет переформулировать логическое утверждение таким образом, чтобы оно было легче понять или доказать. Контрапозиция может быть полезна при решении логических задач, а также при анализе аргументации и доказательств.

Простой пример применения контрапозиции: «Если птица может летать, то она имеет крылья». Контрапозиция этого утверждения будет звучать так: «Если птица не имеет крыльев, то она не может летать». Эта переформулировка позволяет нам легче увидеть связь между наличием крыльев и способностью летать у птиц.

Формулировка закона

Закон контрапозиции в логике является одним из основных принципов рассуждений на основе противоречий. Он устанавливает, что если утверждение имеет форму «если А, то В», то из отрицания В следует отрицание А.

Такой закон может быть использован для логического рассуждения и вывода новых утверждений. Если у нас есть утверждение «если А, то В», и мы можем доказать отрицание В, то мы можем заключить, что и А не является истинным.

Пример использования закона контрапозиции: если логическое утверждение «Если сегодня идет дождь, то улицы мокрые» является истинным, то из отрицания «улицы не мокрые» можно заключить, что «сегодня не идет дождь». Это позволяет переделать утверждение в обратную форму и использовать его для вывода новых заключений на основе имевшихся данных.

Контрапозиция в логике является одной из фундаментальных техник, которая позволяет преобразовывать и анализировать утверждения с использованием отрицания. Она основывается на законе контрапозиции или принципе контрдоказательства.

Закон контрапозиции гласит, что для любых двух утверждений «если А, то В» и «если не В, то не А», оба утверждения будут истинными или оба будут ложными. Если исходное утверждение «если А, то В» истинно, то утверждение «если не В, то не А» также будет истинно.

Контрапозиция позволяет переставить условие и заключение утверждения, используя отрицательные операторы. Для этого нужно взять отрицание каждого элемента изначального утверждения и поменять их местами. Например, если исходное утверждение звучит как «если A, то B», то контрапозиция будет выглядеть как «если не B, то не A».

Контрапозиция может использоваться для проверки истинности или ложности утверждений, а также для вывода новых утверждений на основе данных условий. Она является основой для других логических принципов, таких как противоречие, исключение третьего и противоречие.

Закон контрапозиции — это основной принцип логики, который гласит, что если из одного высказывания следует другое, то из отрицания последнего следует отрицание первого.

Закон контрапозиции является одним из основных принципов логики. Он описывает взаимосвязь между двумя высказываниями и дает понимание о том, как изменяется значение этих высказываний при их отрицании.

Согласно закону контрапозиции, если из одного высказывания следует другое, то из отрицания последнего следует отрицание первого. Это означает, что если утверждение А влечет за собой утверждение В, то отрицание В влечет за собой отрицание А.

Например, если мы имеем высказывание «Если день солнечный, то я буду гулять», то по закону контрапозиции можно сделать вывод, что «Если я не буду гулять, то день не будет солнечным». То есть, отрицание утверждения «я буду гулять» влечет за собой отрицание утверждения «день солнечный».

Закон контрапозиции может быть полезен при доказательстве математических утверждений, а также при рассмотрении логических аргументов и выводов. Он позволяет прояснить взаимосвязь между высказываниями и установить закономерности в их отрицаниях.

Формулировка закона контрапозиции

Закон контрапозиции является одним из основных принципов логики и служит для сопоставления условий и заключений в доказательствах. Согласно этому закону, если высказывание имеет вид «если А, то В», то его контрапозиция имеет вид «если не В, то не А». То есть, для того чтобы закон контрапозиции был верным, необходимо, чтобы в прямом заключении и его контрапозиции были противоположные утверждения.

Например, если предположение звучит как «если плохая погода, то я не выйду на улицу», то его контрапозиция будет звучать как «если я вышел на улицу, значит погода хорошая». Таким образом, мы можем сделать вывод о состоятельности изначального утверждения на основе его контрапозиции.

Закон контрапозиции логически возможен во всех случаях, когда прямое утверждение и его контрапозиция образуют пару противоположных заявлений. Однако, в реальности не все логически согласованные высказывания могут быть применимы в контексте контрапозиции. Поэтому, перед использованием закона контрапозиции необходимо тщательно проверять и проверять логическую совместимость утверждений.

«Если высказывание A ведет к высказыванию B, то отрицание B влечет за собой отрицание A

Закон контрапозиции является основным принципом логики, который позволяет устанавливать логическую связь между утверждениями. Этот закон утверждает, что если высказывание A приводит к выводу высказывания B, то из отрицания B можно сделать вывод об отрицании A.

Контрапозиция является одним из базовых правил вывода в логике и широко используется при рассмотрении доказательств и доказательств от противного. Этот закон позволяет переформулировать утверждения и выполнять логические операции над ними.

Принцип контрапозиции может быть проиллюстрирован следующим примером. Предположим, что высказывание A звучит как «Если я поеду на велосипеде, то доберусь до работы быстрее». А высказывание B звучит как «Я не доберусь до работы быстрее». Согласно закону контрапозиции, если отрицать высказывание B и получить «Я доберусь до работы быстрее», то можно заключить, что исходное высказывание A верно.

Формальное изложение закона контрапозиции помогает устанавливать логические связи между утверждениями и проводить логические выводы. Этот закон является фундаментальным элементом логической рассуждательности и находит широкое применение в различных областях знаний и наук.

Закон контрапозиции является одним из основных принципов логической рассуждаемости и используется для выведения новых логических высказываний на основе данных условий. Ниже приведены несколько примеров, иллюстрирующих применение этого закона.

Пример 1: Пусть дано условие «Если дорога мокрая, то она скользкая». Применяя закон контрапозиции, мы можем сказать, что «Если дорога не скользкая, то она не мокрая». То есть, если на дороге нет скольжения, это означает, что она не мокрая.

Пример 2: Рассмотрим следующее утверждение «Если овощи свежие, то они питательны». Применяя закон контрапозиции, мы можем сделать вывод, что «Если овощи не питательны, то они не свежие». То есть, отсутствие питательности означает, что овощи не свежие.

Пример 3: Пусть имеется утверждение «Если машина не заводится, то у нее слабый аккумулятор». С использованием закона контрапозиции мы можем утверждать, что «Если у машины нет слабого аккумулятора, то она заводится». То есть, отсутствие проблем с аккумулятором приводит к заводке машины.

Пример 4: Рассмотрим утверждение «Если погода хорошая, то на улице много людей». Применение закона контрапозиции позволяет сказать, что «Если на улице мало людей, то погода плохая». То есть, низкая активность на улицах говорит о плохой погоде.

Таким образом, закон контрапозиции может быть полезен при выводе новых логических высказываний на основе исходных условий. Он помогает установить обратную связь между условиями и их следствиями, позволяя делать выводы о противоположных состояниях или событиях.

Пример 1

Закон контрапозиции в логике – один из основных принципов, который гласит, что если высказывание истинно, то его контрапозиция также истинна. Другими словами, если утверждение имеет форму «если Р, то Q», то его контрапозиция будет иметь форму «если не Q, то не Р».

Давайте рассмотрим пример: «Если человек работает, то он получает зарплату». В данном случае утверждение Р (работает) подчиняется условию Q (получает зарплату). Согласно закону контрапозиции, верно и обратное: «Если человек не получает зарплату, то он не работает».

Закон контрапозиции можно использовать для анализа и проверки логической связи между двумя утверждениями. Он позволяет логически выводить новые факты и делать обобщения на основе исходных утверждений.

Пример 2

Рассмотрим пример применения закона контрапозиции в логике. Пусть у нас есть утверждение «Если я выполняю домашнюю работу, то я получаю хорошие оценки». По закону контрапозиции мы можем сделать обратное утверждение: «Если я не получаю хорошие оценки, то я не выполняю домашнюю работу». Это эквивалентно исходному утверждению и позволяет нам делать выводы о выполнении домашней работы на основе оценок.

Применение закона контрапозиции может быть полезно в различных ситуациях. Например, при рассмотрении утверждений в математике. Если мы знаем, что «если число делится на 2, то оно четное», то можем применить закон контрапозиции и сделать вывод: «Если число нечетное, то оно не делится на 2». Это позволяет нам легко определить, является ли число четным или нет.

В законе контрапозиции мы инвертируем как условие, так и заключение исходного утверждения. Это позволяет нам делать выводы о наличии или отсутствии связи между двумя событиями или утверждениями. Применение этого закона позволяет нам логически рассуждать и делать выводы о реальности окружающего мира.

Пример 3

Закон контрапозиции — один из ключевых законов логики, который устанавливает соотношение между пропозициями в виде отрицания.

По закону контрапозиции, если две пропозиции имеют вид «если-то», то их можно заменить друг на друга:

Закон контрапозиции позволяет устанавливать логическую эквивалентность между различными формами утверждений и помогает более точно формулировать и анализировать логические высказывания.

Закон контрапозиции в логике является одним из основных принципов, которые помогают анализировать и выводить логические утверждения. Согласно этому закону, если из двух пропозиций следует, что одна истина, то можно сделать вывод о том, что другая пропозиция ложна.

Рассмотрим пример на основе закона контрапозиции. Пусть у нас есть две пропозиции: «Если я сплю, то не могу работать» и «Я работаю».

Таким образом, мы пришли к выводу, что если я работаю, то утверждение о том, что я сплю, является ложным.

Пусть известно, что «Если сегодня идет дождь, то улицы мокрые. » Можно применить закон контрапозиции и сказать, что «Если улицы не мокрые, то сегодня не идет дождь

Закон контрапозиции в логике позволяет нам делать выводы на основе противоположного утверждения исходного высказывания. Изначально дано предложение: «Если сегодня идет дождь, то улицы мокрые.» По этому предложению легко сделать контрапозицию, а именно, «Если улицы не мокрые, то сегодня не идет дождь.» То есть, если улицы не мокрые, то это означает, что сегодня нет дождя.

Закон контрапозиции представляет собой важный инструмент в логическом анализе высказываний. Он позволяет нам строить противоположные предложения на основе исходных и делать выводы, основываясь на этих противоположных предложениях. Например, если мы знаем, что улицы не мокрые, мы можем сделать вывод, что сегодня нет дождя, и наоборот.

Закон контрапозиции часто применяется в различных сферах науки, философии и анализе информации. Он позволяет нам логически рассуждать и делать выводы на основе противоположных утверждений. Этот закон помогает нам лучше понять и оценить информацию, сделать выводы на основе предоставленных данных и развить наши аналитические навыки.

Для демонстрации закона контрапозиции в логике можно рассмотреть следующий пример. Пусть у нас есть два утверждения: «Если я сегодня не поеду в магазин, то я не куплю продукты» и «Я все-таки купил продукты». Очевидно, что мы можем применить закон контрапозиции в данной ситуации.

Согласно закону контрапозиции, из высказывания «Если А, то В» всегда следует высказывание «если не В, то не А». В нашем случае это будет выражено следующим образом: «Если я купил продукты, то я сегодня не поехал в магазин».

Таким образом, мы можем сделать вывод, что, поскольку я все-таки купил продукты, следовательно, я сегодня не поехал в магазин. Это подтверждает принцип контрапозиции и демонстрирует его важность в логике. С помощью данного принципа мы можем логически рассуждать и делать выводы на основе имеющихся фактов и предположений.

Если «Если я на работе, то я зарабатываю деньги», то по закону контрапозиции можно сделать вывод, что «Если я не зарабатываю деньги, то я не на работе

Закон контрапозиции является важным принципом логики, который позволяет делать выводы на основе предложения обратного значения. Примером использования этого закона может послужить выражение «Если я на работе, то я зарабатываю деньги».

Согласно данному утверждению, когда я нахожусь на работе, я зарабатываю деньги. Однако, применяя закон контрапозиции, можно сделать вывод, что если я не зарабатываю деньги, то я не нахожусь на работе.

Закон контрапозиции основан на принципе противоположности. Если предложение «Если я на работе, то я зарабатываю деньги» является истинным, то обратное предложение «Если я не зарабатываю деньги, то я не на работе» также будет истинным.

Этот пример демонстрирует важность использования закона контрапозиции при анализе утверждений. Он позволяет логически следовать из одного утверждения к другому и делать выводы на основе противоположности предложений.

Закон контрапозиции в логике является одним из основных принципов, который позволяет устанавливать связь между исходным утверждением и его отрицанием. Согласно этому закону, если мы имеем утверждение, что «если А, то В», то мы можем сделать вывод о том, что «если не В, то не А».

Примером применения закона контрапозиции может служить следующая ситуация: если предположить, что для того чтобы купить алкоголь в определенной стране, необходимо быть совершеннолетним, то из этого можно сделать вывод, что если человек несовершеннолетний, то ему запрещено приобретать алкоголь. Таким образом, мы можем установить прямую связь между исходным утверждением и его отношением контрапозиции.

Целью закона контрапозиции является облегчение логического рассуждения и выведение новой информации на основе имеющихся фактов. Он позволяет устанавливать логические связи и делать выводы, даже если нам изначально не известны некоторые факты или утверждения.

Закон контрапозиции полезен в различных областях, например, в математике, философии, праве и науке. Он помогает строить логически верные аргументы и доказывать различные утверждения. Умение применять закон контрапозиции является важным навыком для развития логического мышления и аналитических способностей.

Пусть «Если кошка голодна, она мяукает». Закон контрапозиции позволяет сделать вывод, что «Если кошка не мяукает, значит она не голодна

Закон контрапозиции является важным принципом в логике. Он позволяет сделать выводы на основе отрицания исходного утверждения. Рассмотрим пример с кошкой: «Если кошка голодна, она мяукает». В данном случае, у нас есть два утверждения: «кошка голодна» и «кошка мяукает». Если первое утверждение является истиной, то второе утверждение также будет истинным, в силу логики поведения кошек.

Однако, закон контрапозиции позволяет нам сделать вывод о ситуации, когда кошка не мяукает. Согласно закону контрапозиции, если кошка не мяукает, то она не может быть голодна. Если бы кошка была голодна, то она мяукнула бы, иначе это нарушило бы исходное утверждение. Таким образом, по закону контрапозиции, если кошка не мяукает, значит она не голодна.

Закон контрапозиции является важным инструментом логического мышления и часто используется для суждения о ситуациях, основываясь на отрицании исходных утверждений. В данном случае, мы сделали вывод о голоде кошки, исходя из отсутствия ее мяуканья. Закон контрапозиции позволяет нам более точно анализировать ситуации и делать логические выводы.

Другие законы

Законы двойного отрицания позволяют снимать и вводить такое отрицание. Их можно выразить так: если неверно, что не-А, то А; если А, то неверно, что не-А. Например: «Если неверно, что Аристотель не знал закона двойного отрицания, то Аристотель знал этот закон» и наоборот.

Закон тождества

Самый простой из всех логических законов — это, пожалуй, закон тождества. Он говорит: если утверждение истинно, то оно истинно, «если А, то А». Например, если Земля вращается, то она вращается, и т.п. Чистое утверждение тождества кажется настолько бессодержательным, что редко кем употребляется.

Древнекитайский философ Конфуций поучал своего ученика: «То, что знаешь, считай, что знаешь, то, что не знаешь, считай, что не знаешь». Здесь не просто повторение одного и того же: знать что-либо и знать, что это знаешь, не одно и то же.

Закон тождества кажется в высшей степени простым и очевидным. Однако и его ухитрялись истолковывать неправильно. Заявлялось, например, будто этот закон утверждает, что вещи всегда остаются неизменными, тождественными самим себе. Это, конечно, недоразумение. Закон ничего не говорит об изменчивости или неизменности. Он утверждает только, что если вещь меняется, то она меняется, а если она остается одной и той же, то она остается той же.

«Закон контрапозиции» — это общее название для ряда логических законов, позволяющих с помощью отрицания менять местами основание и следствие условного высказывания.

Один из этих законов, называемый иногда законом простой контрапозиции, звучит так: если первое влечет второе, то отрицание второго влечет отрицание первого.

Например: «Если верно, что число, делящееся на шесть, делится на три, то верно, что число, не делящееся на три, не делится на шесть».

Другой закон контрапозиции говорит: если верно, что если не-первое, то не-второе, то верно, что если второе, то первое.

Например: «Если верно, что рукопись, не получившая положительного отзыва, не публикуется, то верно, что публикуемая рукопись имеет положительный отзыв». Или другой пример: «Если нет дыма, когда нет огня, то если есть огонь, есть и дым».

Еще два закона контрапозиции:

Законы де Моргана

Именем английского логика XIX в. А. де Моргана называются логические законы, связывающие с помощью отрицания высказывания образованные с помощью союзов «и» или «или». Один из этих законов можно выразить так: отрицание высказывания «Л и В» эквивалентно высказыванию «не-А или не-В».

Например: «Неверно, что завтра будет холодно и завтра будет дождливо, если и только если завтра не будет холодно или завтра не будет дождливо».

Другой закон: неверно, что Ли В если и только если неверно Л и неверно В. 11апример: «Неверно, что ученик знает арифметику или знает геометрию, если и только если он не знает ни арифметики, ни геометрии».

На основе этих законов, используя отрицание, связку «и» можно определить через «или», и наоборот:

«А и В» означает «неверно, что не-А или не-В»,

«А и В» означает «неверно, что не-А и не-В».

Например: «Идет дождь и идет снег» означает «Неверно, что нет дождя или нет снега»; «Сегодня холодно или сыро» означает «Неверно, что сегодня не холодно и не сыро».

Модус поненс и модус толленс

«Модусом» в логике называется разновидность некоторой общей формы рассуждения. Далее будут перечислены четыре близких друг другу модуса, известных еще средневековым логикам.

Если А, то В: А В

Здесь высказывания «если А, то В» и «А» — посылки, высказывание «В» заключение. Горизонтальная черта стоит вместо слова «следовательно». Другая запись:

Если А, то В. А. Следовательно, В.

Благодаря этому модусу от посылки «если А, то В», используя посылку «А», мы как бы отделяем заключение «В». На этом основании данный модус иногда называется «правилом отделения». Например:

Если у человека диабет, он болен. У человека диабет.

Рассуждение по правилу отделения идет от утверждения основания истинного условного высказывания к утверждению его следствия. Это логически корректное движение мысли иногда путается со сходным, но логически неправильным ее движением от утверждения следствия истинного условного высказывания к утверждению его основания. Например, правильным является умозаключение:

Если таллий — металл, он проводит электрический ток. Таллий — металл.

Таллий проводит электрический ток.

Но внешне сходное с ним умозаключение:

Если бы электролит был металлом, он проводил бы электрический ток.

Электролит проводит электрический ток.

Электролит — металл логически некорректно. Рассуждая по последней схеме, можно прийти от истинных посылок к ложному заключению. Против смешения правила отделения с этой неправильной схемой рассуждения предостерегает совет: от подтверждения основания к подтверждению следствия рассуждать допустимо, от подтверждения следствия к подтверждению основания — нет.

Модусом толленсом называется следующая схема рассуждения:

Если Л. то В: неверно В Неверно Л

Здесь высказывания «если Л, то В» и «неверно В» являются посылками, а высказывание «неверно Л» — заключением. Другая запись:

Если А, то В. Не-В. Следовательно, не-А.

Посредством этой схемы от утверждения условного высказывания и отрицания его следствия осуществляется переход к отрицанию основания. Например: «Если гелий — металл, он электропроводен. Гелий неэлектропроводен. Следовательно, гелий — не металл».

По схеме модус толленс идет процесс фальсификации, установления ложности теории или гипотезы в результате ее эмпирической проверки. Из проверяемой теории Т выводится некоторое эмпирическое утверждение Л, т.е. устанавливается условное высказывание «если Г, то Л». Посредством эмпирических методов познания (наблюдения, измерения или эксперимента) предложение Л сопоставляется с реальным положением дел. Выясняется, что Л ложно и истинно предложение не-А. Из посылок «если Ту то А» и «не-А» следует «не-Т», т.е. ложность теории 7″.

С модусом толленсом нередко смешивается внешне сходное с ним умозаключение:

В последнем умозаключении от утверждения условного высказывания и отрицания его основания осуществляется переход к отрицанию его следствия, что является логически некорректным шагом. Рассуждение по такой схеме может привести от истинных посылок к ложному заключению. Например:

Неверно, что глина пластична.

Все металлы пластичны, и если бы глина была металлом, она также являлась бы пластичной. Однако глина не является металлом. Но из этого очевидным образом не вытекает, что глина не пластична. Кроме металлов, есть и другие пластичные вещества, и глина в их числе.

Против смешения модуса толленса с данной некорректной схемой рассуждения предостерегает совет: от отрицания следствия условного высказывания заключать к отрицанию основания этого высказывания можно, а от отрицания основания к отрицанию следствия — нет.

В
умозаключениях может быть пропущена
первая посылка, она может подразумеваться,
если выражает какое-то истинное суждение,
формулирующее известное положение,
теорему, за­кон и т. д.

В
условно-категорическом умозаключении
“Сумма цифр данного числа делится на
3, следовательно, данное число де­лится
на З” опущена первая посылка, формулирующая
извест­ную математическую закономерность:
“Если сумма цифр дан­ного числа
делится на 3, то все число делится на З”.

В
разделительно-категорическом умозаключении
“Данное су­ществительное русского
языка не является существительным ни
женского рода, ни среднего рода.
Следовательно, данное существительное
мужского рода” также пропущена первая
посылка: “Существительное в русском
языке может быть жен­ского, или
мужского, или среднего рода”.

В
сложной конструктивной дилемме “Если
я пойду через бо­лото, то могу попасть
в трясину, а если я пойду в обход, то не
успею вовремя доставить донесение.
Следовательно, я могу попасть в трясину
или не успею вовремя доставить донесение”
не формулируется, а лишь подразумевается
вторая посылка: “Я могу идти через
болото или в обход”.

Можно
было бы привести и другие примеры
сокращенных умо­заключений: чисто
условных, условно-категорических, чисто
раз­делительных, разделительно-категорических,
условно-раздели­тельных (дилемм,
трилемм) с пропущенной или первой, или
вто­рой посылкой, однако предоставим
это сделать самому читателю.

Итак,
рассмотренные нами прямые выводы —
такие, как чи­сто условные, чисто
разделительные, условно-категорические,
разделительно-категорические и
условно-разделительные (лемматические)
умозаключения, сформулированные как
полностью, так и сокращенно (т. е. в
которых пропущена либо одна из посы­лок,
либо заключение), — широко используются
в процессах на­учного и обыденного
мышления, обучения в школе или в вузе.
Знание правил построения этих видов
умозаключений предосте­регает от
логических ошибок в мышлении, помогает
доказатель­нее, аргументированное
строить рассуждения и эффективнее
применять приемы обучения учащихся и
студентов.

Прямые
выводы
(кроме рассмотренных выше форм) вклю­чают
и такие
виды
(делаемые из одной посылки):

Простая контрапозиция.

Правило
простой контрапозиции имеет следующий
вид:

Это
правило читается так: “Если а
имплицирует, то отрицание
b
имплицирует отрицание а”.
Здесь а
и b
–
переменные, обозначающие произвольные
высказывания, или пропозициональные
переменные.

Если
данный треугольник не равноугольный,
то он не равносторонний.

2)
Если это вещество фосфор, то оно
непосредственно с водородом не
со­единяется.

Если
вещество непосредственно с водородом
соединяется, то это вещест­во не
является фосфором.

Заметим,
что в логике высказываний

Сложная контрапозиция.

—
правило сложной контрапозиции.

Пример
рассуждения по правилу сложной
контрапозиции:

Если
у меня будут деньги и я буду здорова, то
я на каникулы поеду домой.

Если
у меня были деньги и я на каникулы не
поехала домой, то, следователь­но,

я
не была здорова.

3.
Правило импортации
(конъюнктивного объединения условий).

Видный
математик П. С. Новиков назвал данное
правило пра­вилом соединения посылок.

Это
правило читается так: “Если а
имплицирует, что b
имп­лицирует с, то а и b
имплицируют с”.

В.
А. Сухомлинский писал: “Если учитель
стал другом ребен­ка, если эта дружба
озарена благородным увлечением, порывом

к
чему-то светлому, разумному, в сердце
ребенка никогда не появится зло”. На
основании правила соединения посылок
(пра­вила коньюктивного объединения
условий) мы можем это выска­зывание
В. А. Сухомлинского записать иначе, но
оно будет экви­валентно прежнему его
высказыванию: “Если учитель стал дру­гом
ребенка и эта дружба озарена благородным
увлечением, порывом к чему-то светлому,
разумному, то в сердце ребенка никогда
не появится зло”.

4.
Правило экспортации
(разъединения условий).

Это
правило читается так: “Если а
и b
имплицируют с, то а
имплицирует,
что b
имплицирует с”. Это правило обратно
пре­дыдущему. Поэтому в качестве
иллюстрации можно взять те же мысли
В. А. Сухомлинского, только сначала
прочитать нашу запись полученного
заключения, откуда можно прийти к
выска­зыванию самого В. А. Сухомлинского.

Приведем
другой, более сложный пример, иллюстрирующий
правило экспортации (разъединения
условий), в котором сформу­лированы
не два, а четыре условия: “Если вы любите
детей, пол­ны жажды познания, имеете
доброе сердце, мечтаете посвятить себя
интересному творческому труду, то смело
выбирайте про­фессию учителя”. Формула
этого сложного суждения такая:

На
основании правила экспортации имеем:

Сформулируем
предыдущее суждение по-другому, но
эквива­лентным образом: “Если вы
любите детей, если полны жажды познания,
если имеете доброе сердце, если мечтаете
посвятить

себя
интересному творческому труду, то смело
выбирайте профессию учителя”.

Условные утверждения встречаются повсюду. В математике или где-либо еще нетрудно найти что-то вроде «Если P , то Q ». Условные утверждения действительно важны. Также важны операторы, которые связаны с исходным условным оператором путем изменения положения P , Q и отрицания оператора. Начиная с исходного оператора, мы получаем три новых условных оператора, которые называются обратным, противоположным и обратным.

Прежде чем мы определим обратное, противоположное и обратное условному выражению, нам нужно изучить тему отрицания. Каждое утверждение в логике либо истинно, либо ложно. Отрицание утверждения просто включает в себя вставку слова «не» в нужной части утверждения. Добавление слова «не» сделано для того, чтобы изменить статус истинности утверждения.

Это поможет посмотреть на примере. Утверждение «Прямоугольный треугольник равносторонний» имеет отрицание «Прямоугольный треугольник не является равносторонним». Отрицание «10 – четное число» означает утверждение «10 – не четное число». Конечно, в этом последнем примере мы могли бы использовать определение нечетного числа и вместо этого сказать, что «10 – нечетное число». Отметим, что истинность утверждения противоположна истине отрицания.

Мы рассмотрим эту идею в более абстрактной обстановке. Когда утверждение P истинно, утверждение «not P » ложно. Точно так же, если P ложно, его отрицание «not P » истинно. Отрицания обычно обозначаются тильдой ~. Поэтому вместо записи «not P » мы можем написать ~ P .

Обратное, Контрапозитивное и Обратное

Теперь мы можем определить обратное, противоположное и обратное условному утверждению. Мы начинаем с условного оператора «Если P , то Q.nds

Мы увидим, как эти утверждения работать с примером. Предположим, мы начинаем с условного оператора «Если прошлой ночью шел дождь, значит, тротуар мокрый».

Логическая эквивалентность

Мы можем задаться вопросом, почему важно формировать эти другие условные операторы из нашего начального один. Внимательный взгляд на приведенный выше пример кое-что показывает. Предположим, что исходное утверждение «Если прошлой ночью шел дождь, значит, тротуар мокрый» верно. Какое из других утверждений также должно быть верным?

То, что мы видим из этого примера (и то, что может быть доказано математически), – это то, что условное утверждение имеет то же значение истинности, что и его контрпозитив. Мы говорим, что эти два утверждения логически эквивалентны. Мы также видим, что условный оператор логически не эквивалентен своему обратному и обратному.

Поскольку условный оператор и его контрпозитив логически эквивалентны, мы можем использовать это в наших интересах, когда мы доказываем математические теоремы. Вместо того, чтобы напрямую доказывать истинность условного утверждения, мы можем использовать стратегию косвенного доказательства, заключающуюся в доказательстве истинности контрпозитива этого утверждения. Противопозитивные доказательства работают, потому что, если контрапозитив верен, из-за логической эквивалентности исходное условное утверждение также верно.

Оказывается, даже если обратное и inverse логически не эквивалентны исходному условному выражению, они логически эквивалентны друг другу. Этому есть простое объяснение. Мы начинаем с условного оператора «Если Q , то P ». Противоположным этому утверждению является «Если не P , то не Q ». Поскольку обратное является противоположностью обратного, обратное и обратное логически эквивалентны.

Другие логические законы

Закон тождества — логический закон, согласно которому всякое высказывание следует из самого себя.

Его можно выразить и так: если высказывание истинно, то оно истинно.

Другая форма записи данного закона:

Например, «Если Земля вращается, то она вращается»; «Если лингвист — ученый, то он ученый» и т. п. Чистое утверждение тождества выглядит настолько бессодержательным, что редко кем употребляется.

Закон тождества кажется в высшей степени очевидным. Однако его тоже ухитрялись истолковывать неправильно. Заявлялось, например, будто этот закон утверждает, что вещи всегда остаются неизменными, тождественными самим себе. Это, конечно, недоразумение. Закон ничего не говорит об изменчивости или неизменности существующих в мире объектов. Он утверждает только, что если вещь меняется, то она меняется, а если она остается той же, то она остается той же.

Закон контрапозиции.

Этот закон говорит о перемене позиций высказываний с помощью отрицания.

Закон контрапозиции — логический закон, позволяющий с помощью отрицания менять местами основания и следствие (антецедент и кон- секвент) условного высказывания.

Данный закон позволяет из высказывания «Если А, то В» выводить высказывание «Если не-В, то не-А». Например, из высказывания «Если есть огонь, то есть дым» по этому закону логически следует высказывание «Если нет дыма, то нет и огня».

Поскольку данный закон говорит о логическом следовании, его можно представить более наглядно в такой форме (горизонтальная черта стоит вместо слова «следовательно»):

Еще один вариант этого же закона:

Например, из высказывания «Если рукопись, не получившая положительного отзыва, не публикуется» вытекает высказывание «Если рукопись публикуется, она получила положительный отзыв».

Контрапозиция — это, выражаясь шахматным языком, рокировка высказываний. Редкая шахматная партия обходится без рокировки, и редкое наше рассуждение проходит без использования контрапозиции.

Закон двойного отрицания

Этот закон выражается тавтологией:

двойное отрицание высказывания
эквивалентно самому высказыванию.

Закон двойного отрицания можно проверить
таблицей истинности:

высказывание
=”Сегодня
НЕ пятница”,

высказывание
=“ Неверно, что сегодня НЕ пятница
”.

Высказывание “ Неверно, что сегодня
НЕ пятница ”полностью эквивалентно
исходному высказыванию”Сегодня
пятница”.

если из одного высказывания следует
второе высказывание, то из отрицания
второго высказывания следует отрицание
первого высказывания.

Закон контрапозиции находит широкое
применение в косвенных доказательствах
“отпротивного”.

высказывание В=”Завтра суббота”,

Последнее высказывание эквивалентно
высказыванию “ Если сегодня пятница,
то завтра суббота”.

Закон расширенной контрапозиции

если из одновременной истинности двух
высказываний следует третье высказывание,
то из одновременной истинности первого
и отрицания третьего высказывания
следует отрицание второго высказывания.

Пример: высказывание А=”Сегодня 31
число”,

высказывание В=”Сейчас декабрь”,

высказывание С=”Завтра Новый Год”,

Закон перестановки посылок

если из первого высказывания следует,
что из второго высказывания следует
третье, то из второго высказывания
следует, что из первого высказывания
следует третье.

Пример: высказывание А=” Сейчас
декабрь ”,

высказывание В=” Сегодня 31 число”,

высказывание С=” Завтра Новый
Год”,

Закон силлогизма

если из первого высказывания следует
второе, а из второго третье, то из первого
высказывания следует третье.

Пример: высказывание А=”Он сдает
все работы в срок ”,

высказывание В=”Он получает зачет”,

высказывание С=” Он едет на
каникулы”,

Закон де Моргана

Этот закон широко используется при
минимизации переключательных функций
и выражается формулами:

отрицание любого сложного высказывания
эквивалентно сложному высказыванию,
в котором исходные знаки дизъюнкции
заменены знаками конъюнкции, знаки
конъюнкции – знаками дизъюнкции, и все
составляющие его аргументы – их
отрицаниями.

Пример 1: высказывание А – любое,

=
0, (под знаком отрицания – закон
исключенного третьего)

Пример 2: высказывание А=”Число
заканчивается на 0”,

высказывание В=”Число заканчивается
на 5”.

Тогда высказывание A
+ B =”Число
заканчивается на 0 ИЛИ число заканчивается
на 5”.

Это признак делимостичисла на5.

Тогда признак неделимостичисла
на5 формулируется так
=&=”Число
НЕ заканчивается на 0 И число НЕ
заканчивается на 5”.

Кроме законов, выраженных тавтологиями,
в алгебре логики рассматриваются законы
(теоремы), позволяющие упростить или
преобразовать сложные логические
выражения.

К таким законам относятся следующие:

A + B
≡ B + A

A & B
≡ B & A

A + (B + C) ≡ (A + B) + C

A & (B & C) ≡ (A & B) & C

A & (B
+ C) ≡ A
& B + A
& C

A + B & C ≡ (A + B) & (A + C)

A + A&B = A&(1 + B) = A

A&(A + B) = A&A + A&B = A + A&B = A&(1 +
B) = A

A&B + A&
= A&(B +
)
= A&1 = A

— две формы закона идемпотентности:

A + A
= A

A & A = A

Кроме этих законов, в
алгебре логики рассматриваются следующие
соотношения:

A + 0 = A

A + 1 = 1

A & 0 = 0

A & 1 = A

Любую формулу алгебры
логики можно представить таблицей
истинности, перебрав все значения ее
аргументов:

F = A&
+ A&B

Любую таблицу истинности можно
представить формулой алгебры логики:

Оставляем в таблице только те строки,
в которых значение функции истинно:

Составляем сумму произведений аргументов,
причем если значение аргумента ложно,
то записываем его с отрицанием:

F =
&+A&

Далее можно упростить эту формулу:

F =
&+A&=&(+A) =
&
1 =